【数学】矩阵白化原理及推导

矩阵白化目的

如对于任意一个矩阵X" role="presentation">X，对其求协方差，得到的协方差矩阵cov(X)" role="presentation">cov(X)并不一定是一个单位阵（对角阵）；【注意：协方差矩阵是对称矩阵，但不一定是对角阵】而矩阵白化就是找到一个变换矩阵P" role="presentation">P，使得Y=PX" role="presentation">Y=PX的协方差矩阵cov(Y)" role="presentation">cov(Y)是一个单位阵（对角阵）。因为通过矩阵白化后，协方差是个对角阵(单位阵)，那么就代表着矩阵Y的各个向量(向量是列向量还是行向量要根据求协方差时cov(X)=XXT还是XTX来判断" role="presentation">cov(X)=XXT还是XTX来判断)之间就不相关了。或者说，矩阵白化的目的就是让被变换的矩阵经过变换后其向量的方差相同（因为是单位阵）那么该怎么找到这个变换矩阵P" role="presentation">P呢？

矩阵白化推导

对于矩阵X" role="presentation">X，其协方差矩阵cov(X)=XXT" role="presentation">cov(X)=XXT并不一定为对角矩阵，但是对于实对称的协方差矩阵可以有如下的特征值分解：详见【特征值分解】

cov(X)=QΛQT" role="presentation">cov(X)=QΛQT

其中的Λ" role="presentation">Λ为由特征值组成的对角矩阵，Q" role="presentation">Q为对应的特征向量，是一个正交矩阵。现在我们要找到线性变换矩阵P，使得Y=PX" role="presentation">Y=PX的协方差矩阵可以是单位阵，即

cov(Y)=YYT=PX(PX)T=PXXTPT=Pcov(X)PT=E（单位阵）" role="presentation">cov(Y)=YYT=PX(PX)T=PXXTPT=Pcov(X)PT=E（单位阵）

现在令P=Λ−1/2QT（矩阵开根号就是其中的每个元素开根号）" role="presentation">P=Λ−1/2QT（矩阵开根号就是其中的每个元素开根号），那么有

cov(Y)=Pcov(x)PT=Λ−1/2QTQΛQT(Λ−1/2QT)T=Λ−1/2QTQΛQTQΛ−1/2（因为Q是正交矩阵，即QQT=E）=Λ−1/2ΛΛ−1/2=E" role="presentation">cov(Y)=Pcov(x)PT=Λ−1/2QTQΛQT(Λ−1/2QT)T=Λ−1/2QTQΛQTQΛ−1/2（因为Q是正交矩阵，即QQT=E）=Λ−1/2ΛΛ−1/2=E

所以说当P=Λ−1/2QT" role="presentation">P=Λ−1/2QT时，可以使得Y=PX" role="presentation">Y=PX的协方差矩阵为单位阵(对角阵)。

因此 ，通过矩阵白化后，矩阵Y的各个向量(列向量还是行向量根据上文确定)之间就不相关了.

相关知识

统计学习理论及应用
白化巴西龟
白化龟
罕见白化动物：白化海狗与黑色同伴对比鲜明
白化冠鱼狗现身洋县
野外工作人员拍摄到白化冠鱼狗
白化球蟒价格
培育白化龟的方法
动物界的“白化病患者”
黑线仓鼠白化突变系白化性状产生分子机理的研究

网址: 【数学】矩阵白化原理及推导 https://www.mcbbbk.com/newsview212305.html