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《华图GCT2014(硕士研究生考试)真题模拟题归类解析及知识点清单:数学分册（2014年最新版）》全国GCT辅导用书

来源：萌宠菠菠乐园时间：2024-09-23 08:39

**部分
GCT数学考试分析
一、基本考情分析
GCT入学资格考试数学部分的考试以数学基础知识为背景，**考查考生的基本��学素养及对基本数学概念的理解，考查考生逻辑思维能力、数学运算能力、空间想象能力以及分析解决问题的能力。数学试题由五部分内容组成：算术、初等代数、几何与三角学、一元函数微积分、线性代数。考试题目共25个，考试时间45分钟。
GCT入学考试数学部分有如下的特点：
**，内容繁杂，综合性强。考试内容囊括算术、初等代数、几何与三角学、一元函数微积分以及线性代数的基础知识，包括小学、初中、高中以及大学的数学知识。
第二，考试时间很紧张。要在45分钟内解决25道题，平均每道试题的解题时间不到2分钟。
二、数学应试技巧分析
**数学家、教育家G.波利亚（GPolya）说：“解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋。因此，解题可以被认为是人类*富有特征性的活动。”本书给GCT入学资格考生提供了锻炼自己解题能力和测验自己数学水平的机会。在看本书试题时，应该先自己动手做题，然后将自己所得的结果与书中的答案加以比较，看自己哪些做对了、哪些做错了，为什么会做错。建议考生把本书的全部试题做2～3遍，应该做到对所有的题目一见到就能够熟练、正确地解答出来。
数学考试要在45分钟内完成，时间是很紧张的。考生如果能在牢固掌握基础知识的基础上，掌握一定的解题技巧，必将大大提高解题速度。下面就一些比较典型的题型，介绍几种解题方法和技巧。当然，这些解题方法并非具有通用性，考生应该具体情况具体分析。
1．结合图形解题，一目了然
【例1】要使方程3x2+（m-5）x+m2-m-2=0的两个实根分别满足0＜x1＜1和1＜x2＜2，实数m的取值范围是（）。
A．-2＜m＜-1B．-4＜m＜-1C．-4＜m＜-2D．-3＜m＜1
【技巧分析】这里主要考查二次函数（方程）的性质。如果用一元二次方程根与系数的关系解题，比较繁琐，我们不妨结合图形解题。
图1
解：如图1所示，设
f（x）=3x2+（m-5）x+m2-m-2
则f（x）开口向上，与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，有不等式组f（0）＞0f（1）＜0f（2）＞0，从而有
m2-m-2＞0
m2-4＜0
m2+m＞0
答案：A。
【例2】设φ（x）是x到离x*近的整数的距离，求∫1000φ（x）dx。
【技巧分析】此题至少有两种解法。直接用积分的方法也能算出答案，但是比较繁琐，如果借助于图形，答案就一目了然了。其实所求积分就是如图2所示的100个三角形的面积之和。
解法1：如图所示，
图2
∫1000φ（x）dx=100×025=25。
解法2：
φ（x）=x-i，i≤x＜i+05i+1－x，i+05≤x＜i+1
∫1000φ（x）dx=∑99i=0∫i+1iφ（x）dx
=
∑99i=0∫i+0.5i（x-i）dx+∫i+1i+
05（i+1-x）dx
=25。
2．典型的比例问题，借助比例系数求解
【例3】设1x∶1y∶1z=4∶5∶6，则使x+y+z=74成立的y值是（）。
A．24B．36C．743D．372
【技巧分析】这是很典型的比例问题，一般的题是两个数值之间的比例问题，这里是三个数值之间的比例问题，按照1x，1y，1z各自的比例直接计算此题，不如借助于比例系数计算来得快。
解：令1x4=1y5=1z6=k
有x=14ky=15kz=16k
根据题意有14k+15k+16k=74，解得k=1120
所以y=15k=24
答案：A。
3．直观判断常数项
在判断n值给定的情况下，二项展开式是否存在常数项的问题时，用直接判断法比代入条件验证结论要简便得多，下面结合例题进行分析。
【例4】当（）时，4x－13xn有常数项。
A．n=1B．n=2
C．n=4D．n=7
【技巧分析】二项展开式中，位于分母的指数为13，位于分子的指数是14，它们的比值为34，3+4=7，只有当n=7的整数倍时，展开式才存在常数项。
答案：D。
4．等价变形，运用转换法
【例5】设实数x，y符合等式x2-4xy+4y2+3x+3y-6=0，则x+y的*大值为（）。
A．32B．233
C．23
D．32
【技巧分析】把x+y视作一个整体来解题，有些麻烦，问题比较复杂。但是如果能将原等式进行等价变换，则会“柳暗花明”。
解：对原式作等价变形，有
3（x+y）=6-（x-2y）2
可得x+y=63-13（x-2y）2
由（x-2y）2≥0
可得13（x-2y）2≥0
所以x+y≤63=23
答案：C。
5．运用待定系数法求解
【例6】已知x4-6x3+ax2+bx+4是一个二次三项式的完全平方式，则a，b的值分别为（）。
A．a=13，b=-12或者a=5，b=12B．a=6，b=1
C．a=-6，b=4D．a=13，b=-12
【技巧分析】此类题采用待定系数法就比较简单，直接根据未知的系数来推算答案是比较麻烦的。
解：设原式=（x2+Ax+B）2，有
x4-6x3+ax2+bx+4=x4+2Ax3+（A2+2B）x2+2ABx+B2
得2A=-6A2+2B=a2AB=bB2=4
解得A=-3，B=±2
当B=-2时，有a=5，b=12；B=2时，有a=13，b=-12
答案：A。
6．求不等式解集：“根排序法”
【例7】不等式x2－4x+3x+5≤0的解集是（）。
A．（-∞，-5）∪［1，3］
B．（-∞，-5）∪（1，3）
C．（-5，3）
D．（-∞，8）
【技巧分析】直接对不等式求解显然很麻烦，我们用“根排序法”会很轻松。
解：对原不等式作同解变形
得（x-1）（x-3）（x+5）≤0x≠-5
令（x-1）（x-3）（x+5）=0，有x1=-5，x2=1，x3=3，将x1，x2，x3从左到右依大小进行排序，得
-5+1+3
-+-+
由上面的排序可得到答案：不等式的解集是（-∞，-5）∪［1，3］
答案：A。
7．“特值代入法”，准确而又**的技巧
【例8】C1n+3C2n+32C3n+…+3n-1Cnn的值为（）。
A．13（4n-1）B．4nC．3×4nD．4n3-1
【技巧分析】本题可用代公式的方法计算出答案，但是，在考场上用“特值代入法”，准确而又**，可以节省大量的时间。请看下面两种解法，很明显，解法2是考生所愿意采纳的方法。
解法1：原式=13（3C1n+32C2n+33C3n+…+3nCnn）
=13(30C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn）－30C0n
=13（1+3）n-1
=13（4n-1）
答案：A。
解法2：用n=1代入，正如A选项，故为正确答案。如果不放心，用n=2代入，也成立。即可知，只有A选项符合。
答案：A。
【例9】若x=a2-bc，y=b2-ac，z=c2-ab，a、b、c是不完全相等的任意实数，则x、y、z（）。
A．至少有一个大于0B．都大于0
C．至少有一个小于0D．都不小于0
【技巧分析】像这种考题，按照规矩的方法，花一些时间可以求出答案。考生可以比较下面两种解题方法，当然解法1比较简单，但考生在紧张的状态下不一定想得到，所以用解法2是快速而又保险的做法。
解法1：x+y+z=a2+b2+c2-ac-bc-ab=12（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2
因为a、b、c不完全相等，所以有
x+y+z=12［（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2］＞0
x、y、z中至少有一个大于0。
答案：A。
解法2：不妨令a=0，b=1，c=2，很快排除B、D。再令a=1，b=0，c=-1，又排除C。
只有A选项正确。
答案：A。
【例10】设A=101020101，则An=（）。
A．2nAB．2n-1AC．2n-2AD．0
【技巧分析】老实地算，仔细一点能算正确，否则容易出错，下面的解法2省时又正确，很简便。在考场上，考生若善于灵活运用这种“特值代入法”，定会大有裨益。
解法1：A=101020101，A2=202040202=2A
A3=2A2=22A，…，An=2n-1A，所以归纳推理出一般规律，故B选项正确。
答案：B。
解法2：不妨设n=1，很快排除A、C、D，直接选择B，5秒钟内得出答案。
答案：B。
……