原创 法国竞赛题求实函数y=x+√(1−x²)的极值,看似简单算起来有难度

题一、

求实函数y=x+√(1−x²)的极值

分析题目

分析题目，求极值问题，常规思路都是不等式放缩，那本题我们转换下思路，将变量Y参数化，很容易得到一个关于X的一元二次方程，则由根的判别式很容易得到参数Y的取值范围，据此分析我们来解题，

首先，移项后得到，

y−x=√(1−x²)

因为紧接着要平方去根号了，所以要确定下取值范围，则依据根式下面要大于等于0，根式外面也要大于等于0，即有

1−x²≥0，y−x≥0

整理得到，

−1≤x≤1，y≥x≥−1 ......①

接着我们等号两边同时平方去根号得到，

(y−x)²=1−x²

展开后移项得到，

y²−2xy+x²−1+x²=0

按关于X的一元二次方程进行降幂排列得到，

2x²−2yx+y²−1=0

整理后得到

y²≤2 ,

开方后即得到，

−√2≤y≤√2，

结合①得到

−1≤y≤√2，

则我们很容易得到Y的极值，即有，

y最小值为−1，当x=−1时取得；

y最大值为√2，当x=√2/2时取得。

参考答案

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