有关凸集的证明例题

) f(x1,x2)=x21-4x1x2+x22+x1+x2；

(3) f(x1,x2)=(x1-x2)2+4x1x2+ex1+x2；

(4) f(x1,x2)=x1e-(x1+x2)；

(5) f(x1,x2,x3)=x1x2+2x21+x22+2x23-6x1x3.

解(1) 2f(x)=

2-2

-22

为半正定矩阵，故f(x1,x2)是凸函数.

(2) 2f(x)=

2-4

-42

为不定矩阵，故f(x1,x2)不是凸函数.

(3) fx1=2(x1-x2)+4x2+ex1+x2,

fx2=-2(x1-x2)+4x1+ex1+x2,

2fx21=

2+ex1+x2，

2fx1x2=

2fx2x1=

2+ex1+x2，

2fx22=

2+ex1+x2，

因此Hesse矩阵

2f(x)=

2+ex1+x22+ex1+x2

2+ex1+x22+ex1+x2

=(2+ex1+x2)

11

11

为半正定矩阵，因此f(x)是凸函数.

(4) fx1=e-(x