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AcWing 1022. 宠物小精灵之收服「看完必懂」

来源：萌宠菠菠乐园时间：2024-12-16 18:27

写题解工具

题目描述

宠物小精灵是一部讲述小智和他的搭档皮卡丘一起冒险的故事。

一天，小智和皮卡丘来到了小精灵狩猎场，里面有很多珍贵的野生宠物小精灵。

小智也想收服其中的一些小精灵。

然而，野生的小精灵并不那么容易被收服。

对于每一个野生小精灵而言，小智可能需要使用很多个精灵球才能收服它，而在收服过程中，野生小精灵也会对皮卡丘造成一定的伤害（从而减少皮卡丘的体力）。

当皮卡丘的体力小于等于0时，小智就必须结束狩猎（因为他需要给皮卡丘疗伤），而使得皮卡丘体力小于等于0的野生小精灵也不会被小智收服。

当小智的精灵球用完时，狩猎也宣告结束。

我们假设小智遇到野生小精灵时有两个选择：收服它，或者离开它。

如果小智选择了收服，那么一定会扔出能够收服该小精灵的精灵球，而皮卡丘也一定会受到相应的伤害；如果选择离开它，那么小智不会损失精灵球，皮卡丘也不会损失体力。

小智的目标有两个：主要目标是收服尽可能多的野生小精灵；如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），因为他们还要继续冒险。

现在已知小智的精灵球数量和皮卡丘的初始体力，已知每一个小精灵需要的用于收服的精灵球数目和它在被收服过程中会对皮卡丘造成的伤害数目。

请问，小智该如何选择收服哪些小精灵以达到他的目标呢？

输入格式

输入数据的第一行包含三个整数：N，M，K，分别代表小智的精灵球数量、皮卡丘初始的体力值、野生小精灵的数量。

之后的K行，每一行代表一个野生小精灵，包括两个整数：收服该小精灵需要的精灵球的数量，以及收服过程中对皮卡丘造成的伤害。

输出格式

输出为一行，包含两个整数：C，R，分别表示最多收服C个小精灵，以及收服C个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最多为R。

数据范围

0<Nle1000,
0<Mle500,
0<Kle100

输入样例1：

10 100 5 7 10 2 40 2 50 1 20 4 20 输出样例1：

3 30 输入样例2：

10 100 5 8 110 12 10 20 10 5 200 1 110 输出样例2：

0 100

算法

(01 背包,二维费用) O(nV1V2)

题目分析：前置题 AcWing 8. 二维费用的背包问题，从实际问题抽象背包模型

物品 n：指的是小精灵的数量「n 对应题目中的 K」花费 1 V1：指的是精灵球的数量「V1 对应题目中的 N」花费 2 V2：指的是皮卡丘的体力「V2 对应题目中的 M」价值：可以收服的小精灵的数量，每只小精灵的价值为 1

我看到有多种抽象方式，先把这一种搞懂再说。

状态表示：f[i][j][k]，表示从前 i 个小精灵中选，花费 1 的精灵球数不超过 j 且花费 2 的皮卡丘体力不超过 k 的所有选法中价值的最大值，即可以收服的精灵数的最大值。

状态计算：对于状态 f[i][j][k]，根据是否选第 i 个物品分情况讨论

不选第 i 个物品，则有 f[i−1][j][k] 选第 i 个物品，则有 f[i−1][j−v1][k−v2]+1

最后两者取一个 max

边界：

初始化答案：f[n][V1][V2−1]，优化第一维后的答案 f[V1][V2−1]

第一问：最多可以收服的小精灵数

f[V1][V2−1]

第二问：在收服最多小精灵数的前提下，求皮卡丘可以剩余的最大体力是多少，可以先求消耗的最少体力是多少

k 从 V2−1 最大体力开始寻找，从大到小寻找答案等于最大值的最小的 k′，此时 k′ 就是消耗的最少体力，那么剩余最多体力为 V2−k′

为什么第一问和第二问中的 k 都是从 V2 - 1 开始？

看题目描述

题目中已知当皮卡丘的体力 k 小于等于 0 时，小智就必须结束狩猎，而使得皮卡丘体力小于等于 0 的野生小精灵也不会被小智收服。

所以消耗的体力不能达到最大体力 V2，达到最大体力不能收服小精灵。

时间复杂度

O(nV1V2)

空间复杂度

O(NM)

C++ 代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 1010, M = 510; int n, V1, V2; int f[N][M]; int main() { cin >> V1 >> V2 >> n; // 第一问：最多可以收服的小精灵数 for (int i = 0; i < n; i ++ ) { int v1, v2; cin >> v1 >> v2; for (int j = V1; j >= v1; j -- ) for (int k = V2 - 1; k >= v2; k -- ) f[j][k] = max(f[j][k], f[j - v1][k - v2] + 1); } cout << f[V1][V2 - 1] << " "; // 第二问：在收服最多小精灵数的前提下，求皮卡丘可以剩余的最大体力是多少 int k = V2 - 1; while (k > 0 && f[V1][k - 1] == f[V1][V2 - 1]) k -- ; cout << V2 - k << endl; return 0; }