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一课研究之“题组练习”在低段解决问题教学中的有效运用”

来源：萌宠菠菠乐园时间：2024-09-22 14:01

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大家好！我是一课研究第23组成员丁琴佳，来自浙江省台州市温岭市泽国镇第二小学。很高兴与您在一课研究的微信平台中相遇。

本期内容有哪些？

听一听：数学课应有的味道

读一读：如何有效运用题组联系——以“低段解决问题”为例

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本次听书的内容是选自杨晓荣"数学课应有的味道"。

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题组练习在低段解决问题教学中的有效运用

一、“题组”是什么

何谓“题组”？它是指以一定的教学内容为规定性的，以实现教学目标为取向的一组习题。这种题组并不是几个独立数学问题的简单组合，而是注重题目之间的内在联系，通过有效的编排，让学生在掌握解决单个数学问题的方法之外，还能通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化，形成一种更高层次的思维方法，以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的。在教学中，教师精心设计合理有效的“题组练习”，就好比为孩子们搭建了一个梯子，使他们沿着台阶一步一步地往上走，自主地完成知识的建构。“题组练习”强调几个习题具有内在联系，彼此之间有知识的迁移应用，同时又对一个知识系统的形成起着促进作用，它们的关系如下图：

另外，解决问题在整个小学数学阶段的教学中既是重点又是难点。虽然新教材在“解决问题”的编排上作了较大的调整，也降低了一些学习难度，但由于解决问题具有较强的抽象性，低段的学生学起来相对比较困难，不易理解和掌握。教师虽然教的很辛苦，但有时效果也并不理想。尤其是理解题意、分析数量关系等给学生的学习带来了很大的难度。笔者结合自身教学实践，在解决问题的教学中尝试编拟有针对性的“题组练习”，为孩子搭建了学习的阶梯，取得了不错的效果，具体有以下几点。

一、异曲同工——编拟同质型题组，沟通知识内在联系

同质型题组，就是把本质或规律相同的问题设计成题组的形式，但这些题组中的单个练习的在描述、情境、呈现方式等方面各不相同。通过同质性的题组练习，可以帮助学生沟通知识间的内在联系，将解题思路和方法由一道题拓宽到一类题。

1. 描述不同,策略相似

由于低年级小学生的识字量有限及理解能力尚弱，他们有时无法正确理解问题所描述的意思，这给他们正确解决问题带来了一定程度的困难。为避免学生机械地模仿一些常见问题的解决方法，我们有必要将描述不同，实则本质相同的习题编为题组供他们练习和比较。如：

（1）今年养了56只白兔，灰兔比白兔少19只，今年养了多少只灰兔？

（2）今年养了56只白兔，比灰兔多19只，今年养了多少只灰兔?

两题中的信息和问题完全一样，只不过在描述时采用了不同的方式，而学生往往会看到题目中的“少”选用减法，看到“多”选用加法，导致出错。通过两道题编成的题组对比练习，加强孩子对“白兔比灰兔多19只”就是“灰兔比白兔少19只”的理解，从而正确解答“求比一个数多（少）几的数”这类问题。

再如在两步计算问题的教学中，学生很难提出“中间问题“，给解题带来难度，这时可以设计这样的扩题式题组：

（1）光明小学三年级学生参加队列操展示，三（1）班有35人参加，三（2）班有42人参加，一共有多少名同学参加展示？

（2）光明小学三年级学生参加队列操展示，三（1）班有35人参加，三（2）班学生排成了7列方队，每列站6人，一共有多少名同学参加展示？

（3）光明小学三年级学生参加队列操展示，三（1）班有35人参加，三（2）班参加的人数比三（1）班多7人，一共有多少名同学参加展示？

从表达的内容上看，这三题一题比一题麻烦，但仔细一看，三题的问题和信息是一样的，进而让学生明白，解决问题时可以先抓住主数量关系，提出中间问题，找到解决问题的方法。再引导学生仔细观察和比较三道题，使学生经历简单问题到复杂问题的变化，体会简单到复杂的变化实质上就是“直接条件”和“间接条件”的转化。在这样的题组练习中，学生不仅能掌握两步计算问题的基本结构特征，还体会到了简单与复杂的转化关系。

2. 情境不同,思路相同

低年级学生的理解能力还比较弱，解题中容易受各式各样的问题情境所困扰，有时候同样的问题，换了个情境，学生便无法找到解题思路。如在二年级下册刚学习“用除法解决问题”后，学生对于“分一分”的问题解决起来得心应手，但是换个情境（买东西）就有些云里雾里了。此时我们可以呈现这样的题组：

（1)猫妈妈有15条鱼，每只小猫吃3条，可以分给几只小猫？

（2）小红有15元钱，笔记本每本3元，可以买几本？

第一题讲的是“分鱼”事情，第二题是“买笔记本”。“分鱼”是平均分知识的延续，学生都明白该用除法来解决问题，但是“15元钱能买几本笔记本”这个问题在学生的认知中还没能与“分一分”联系起来。教学时，可先让学生画图，用圆圈来表示硬币，画15个圆圈表示总数15元，然后圈一圈，每本笔记本要3个硬币，3个3个地圈，可以圈几份。从画图的过程中学生很容易就会发现，这题实际上是求15里面有几个5，其本质与第一题是一样的。由此顺利地沟通了知识间的相互联系，建立了数学问题的模型，凸显了数学的本质。

3. 呈现方式不同,本质相同

教材根据学生的年龄特点在对解决问题的素材编写上采用了多种呈现方式，有图画呈现的，图画和文字相结合的，对话呈现问题的，文字描述呈现问题的等等。无论是哪种呈现方式，其数学本质是相同的。但低段学生有时无法从纷乱的呈现方式中找寻到解决问题的有用信息，这样就无从找到合适的解决方法。因此，我们在教学中除了要引导孩子认真读题之外，还应设计些呈现方式不同，本质相同的题组。如：

上面的题组中，（1）以线段图的方式呈现，（2）是以文字描述的形式呈现，它建构的数学模型其实就是（1）。这样的题组编排，不仅能让学生认识到实际问题和数学问题可以互相转化，而且还能体会到线段图是一种很好的分析问题和解决问题的策略，同时，也渗透了数形结合的思想。

二、去芜求真——编拟异质型题组，区分知识易混淆点

异质型题组，是指构成题组的各个习题虽然在情境、内容上相同或相近，但在数学本质或解题思路上完全不同。由于低段学生特殊的年龄特点和认知规律，在审题时，往往被一些表面现象所吸引，比如情境图中美丽的画面、感兴趣的形象等等。所以当他们看到情境、内容或数字相近的题目时，便容易想当然地选用同一种方法去解决，因其主观想象已代替了题目的本质内容。因此在解决问题的教学中，我们可以将那些似是而非、似同非同的题目编为题组，让学生通过比较辨析，透过那些美丽的“外衣”看到数学的本质，由此更好地区分那些容易混淆的知识点，

1.情境相同,关系不同

如学生在初学“用除法解决问题“时, 练习中出现的全部是除法应用题，这样容易造成学生的思维定势，依样画葫芦，哪怕是应该用乘法计算的应用题，学生也会直接用除法算式求解。这也说明学生对除法的含义没有真正理解，感知还很笼统、模糊。因此可以设计下列题组, 帮助学生分析数量关系。

（1)猫妈妈有15条鱼，每只小猫吃3条，可以分给几只小猫？

（2）小红有15元钱，笔记本每本3元，可以买几本？

通过这样的题组练习，让学生明白不能机械式地学什么就用什么方法解决，必须在仔细读题的基础上，认真地分析数量关系，从而找到解决问题的正确方法。在这样的对比练习中，也让学生进一步体会到：求“几个几相加是多少”时，可以用乘法解决；求“一个数里面有几个另一个数”和“把一个数平均分成几份，求每份是多少”时，应该用除法解决；而求“从一个数里面去掉一部分，求另一部分是多少”时，应该用减法解决。

2.情境相同,意义不同

（1)猫妈妈有15条鱼，每只小猫吃3条，可以分给几只小猫？

（2）小红有15元钱，笔记本每本3元，可以买几本？

这样的题目对于一年级的小朋友来说是易错题，教学中可引导孩子分别画出两题的示意图，通过对比文字信息和画图比较，区分基数与序数的意义。设计这样的练习题组，不仅能使学生加强认真审题意识，还能有效帮助孩子理清易混淆的知识点。

3.情境相同，本质不同

（1)猫妈妈有15条鱼，每只小猫吃3条，可以分给几只小猫？

（2）小红有15元钱，笔记本每本3元，可以买几本？

这两题一题求的是正方形的周长，另一题求的是面积，其数学本质是完全不同的。这样的题组练习，不仅有助于学生在比较中巩固“周长”和“面积”的意义，还培养了学生透过现象看本质的能力。

三、循序渐进——编拟递进型题组，促进学生善思能力

递进型题组，是指将几道有着内在本质联系，同时在表示的意义上有更进一层关系的题组编为一组。编拟递进型题组，可以向学生充分展现问题的产生、发展和解决方法的内在联系，除了使学生学得解决单个问题的方法之外，还可以通过几个问题之间的联系以及解决方法的变化，培养学生学生形成一种更高层次的思维方法，以达到对数学本质知识的掌握和对思维的训练。

1.难度递进，促进思维深刻性。

（1）一件衣服45元，一条裤子38元，衣服比裤子贵多少元?

（2）一件衣服45元，比一条裤子贵7元，一条裤子多少元？

（3）一件衣服45元，比一条裤子贵7元，买这样的一套衣服一共需要多少元？

（4）一件衣服45元，比一条裤子贵7元，用100元买这样的一套衣服，还剩多少钱？

以上题组前三题联系紧密，学生通过练习能较好地认识到“两步计算”问题的由来及特征，第四题再加以拓展到三步计算的问题。题组由浅入深、由表及里、步步紧逼，层层深入，通过观察、分析、总结，有利于扩展学生原有的认知结构，加强这部分知识的同化，形成知识网络。同时从另一个侧面经历了数量之间关系的发生、发展的探索过程，使学生的思维一步步走向深刻。

2.题型变换，发展思维灵活性。

在教学长方形和正方形的面积计算后，我们设计了这样的题组：

（1）（基本题）1）一个长方形长6厘米，宽4厘米，它的面积是多少？

2）一块正方形布的边长是8米，它的面积是多少平方米？

（2）（变式题）一面镜子长2分米，宽5分米，这种镜子的价格是每平方分米2元，买这面镜子要多少元？

（3）（综合题）有一根64厘米长的铁丝，用它围成一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？

（4）（提高题）一个长方形长不变, 宽增加2米, 面积要增加12平方米, 如果宽不变, 长增加3米, 面积也增加12平方米．这个长方形原来的面积是多少?

此练习题组是为了巩固长方形和正方形的面积计算，第一题基本题与例题相仿，是学生对新知识（面积公式）的运用；第二题稍加了变化，运用知识解决了实际问题，达到了对新知巩固的作用；第三题加深了难度，沟通了新旧知识间的联系；第四题供学有余力的学生尝试，为他们提供思维发展的平台。四道题由易到难，有基本到变式，目的明确，数量适当，不仅加深了学生的面积概念，还巩固了面积计算的应用，而且还让不同层次的学生得到了不同的发展，收到了较好的练习效果。

四、明察秋毫——编拟对比型题组，提高学生辨析能力

教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解与思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”通过比较，我们可以把相似、相近的实际问题区别开来，找出它们的差异，从而加深学生对所学知识的理解。如在学习“有余数的除法”后，教材安排了相关的解决问题学习，要求学生根据实际情况进行取舍与安排，这是学生学习的难点，此时可以设计这样的题组练习：

（1）一块花布长25米，做1套衣服用3米，最多能做几套衣服？

（2）把25枝花插在花瓶里，每个花瓶插3枝，至少需要几个花瓶？

上面的题组中，解决两个问题所列的算式是一模一样的，但是答案却是不同的。教学中可以引导学生思考：“为什么两题都是用25÷3=8……1列式计算，第（1）题的结果是8，而第(2)题的结果是9呢？”根据这样的题组进行对比性练习，让学生弄清问题差异，有利于克服选择方法的盲目性，培养思维的灵活性，提高解决问题的能力。

五、逆流而上——编拟互逆型题组，发展学生逆向思维

互逆型题组，就是将解题思路正好相反的两道习题组合呈现，让学生在强烈的矛盾中产生思维的碰撞，从而深刻地掌握解题规律。设计这样的题组，有利于培养学生的逆向思维能力，教会学生从一个问题的相反思路上去思考，或者从一般思路的相反方向去思考，探求解决问题的方法和途径，使学生的正向思维、逆向思维发展相互促进。

如在倍数问题中，学生对于几倍求和（差）问题的解题方法比较熟练，数量关系掌握得也相当清楚，但是一碰到和它们互逆的和（差）倍问题便会手足无措，找不到解题的方向，有些甚至到五年级时还没有弄清关系，需要靠方程来帮助思考。教学中我们可以出示以下题组：

1. 今天来参观科技馆的儿童有30人，成人的人数是儿童的2倍，今天一共有多少人参观科技馆？

2. 今天一共有90人来参观科技馆，其中成人的人数是儿童的2倍，儿童有多少人?

上面的题组中，第一题是顺向结构，直接叙述，学生根据题意会很快能想到应该先求“参观科技馆的成人有多少人？”，而后便能顺利解题。而第二题属于逆向结构，已知两个数的和和它们的倍数关系，求一倍数，要用除法解决。教学中除了要借助线段图分析数量关系外，还应引导学生通过比较弄清这两题的结构差异，避免到“倍”就乘的错误解法。

再如在平均数的问题中可以呈现以下题组:

1.小华期中考试语文考了85分，数学考了97分，两门功课的平均分是多少？

2.小华期中考试语文和数学的平均分是91分，其中语文得了85分，数学得了多少分？

第一题是“已知两个数，求这两个数的平均数”，这是“平均数”教学后的基本题，学生的正确率会很高。第二题是“已知两个数的平均数和其中一个数，求另一个数”，和第一题是互逆的。由于学生缺乏逆向思维，这道题显得特别难。但是只要把这两道顺向结构和逆向结构的不同题目编成题组，让学生进行对比练习，便大大降低了第二题的难度。有了第一题的基础，学生比较容易能想到要先求两门功课的总分，再顺利求出数学的分数。题组练习的目标是让练习起到1+1>2的效果，教师在教学过程中不仅仅是让学生解答题目，更重要的是引导他们反思、总结，发现题组中题目与题目之间、题目与题组之间的关系。像这样的互逆型题组，有助于学生区分问题的类型，探寻知识的本质，从而提高解决问题的能力。

实践证明，题组练习在低年级的解决问题教学中有着巨大的潜能，只要从教学目标出发，结合教学内容科学地编拟恰当的题组，就会放大单道习题的效果，发挥出题组的最大效益。作为数学老师的我们，应当避免布置多而杂的习题，合理设计“既精简又综合”的题组练习，为孩子搭建学习的阶梯，让学生一步一题，拾级而上，轻松而又扎实地走向数学的巅峰！

笑一笑

多一点

爸爸：“这次数学考试，大明考了九十五分，小明，你考了多少分？”

小明：“我比大明多一点。”

爸爸：“你考了九十六分还是九十七分?”

小明：“都不是，我考了9.5分。”

你若盛开蝴蝶自来

审核人：吴丽萍李康其

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