正多边形面积计算公式

我心寂寞 2022-01-19

设正n边形的面积为S，
  则，S=(1/2)nR^2*sinα=nr^2tan（α/2)公式中，n--边数，R--三角形的外接圆的半径，r--三角形的内切圆的半径，α--一边所对的圆心角（以度计）。
  推导证明：
  正n边形可分割成n割等腰三角形，按上述参数计数三角形的面积加起来就是正n边形的面积，现证明如下。
  (1) 设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,
  连接OA、OB,得一三角形AOB，其面积为：S'AOB
  则，S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2)
  且，AB/2=Rsin(α/2),即AB=2Rsin(α/2)
  故，S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(α/2)cos(α/2)
  S'△AOB=(1/2)R^2sinα
  正n边形的面积S=n*S△AOB
  故，S=(1/2)nR^2sinα
  （2）再证以内切圆半径r和圆心角α表示的正多边形的面积S
  证：因r是圆O的外切正多边形的边心距，也是△AOB的AB上的高（r)
  S''△AOB=(1/2)*AB*r
  此时 ，AB/2=rtan(α/2),故AB=2rtan(α/2)
  S''△AOB=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)
  故，正n边形的面积S=n*S''△AOB=nr^2*tan(α/2)

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