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如图.OA=OB.AC=BD.且OA⊥AC.OB⊥BD.M是CD中点．求证:OM是CD的垂直平分线．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

来源：萌宠菠菠乐园时间：2024-10-25 13:38

4．如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD中点．求证：OM是CD的垂直平分线．

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分析连接OC，OD，根据OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD可得出OC=OD，再由M是CD中点得出CM=DM，根据SSS定理得出△OCM≌△ODM，进而可得出结论．

解答证明：连接OC，OD，
∵OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，
∴△OAC与△OBD是直角三角形，
∴OC=OD．
∵M是CD中点，
∴CM=DM．
在△OCM与△ODM中，
∵$left{begin{array}{l}{OC=OD}{OM=OM}{CM=DM}end{array}right.$，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠OMC=∠OMD=90°，即OM是CD的垂直平分线．

点评本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

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